Хотя бы один успех: почему шесть бросков не гарантируют шестёрку
Вероятность хотя бы одной шестёрки за шесть независимых бросков честного кубика — примерно 66,51%. Вычтите из 100% вероятность ни одной шестёрки. Произведение 6 × 1/6 даёт ожидаемое количество, а не гарантию.
Шесть попыток — ещё не обещание
У честного шестигранного кубика вероятность шестёрки в каждом броске равна 1/6. Считаем броски независимыми: прошлые результаты не меняют вероятности следующего броска. Число бросков выбираем заранее.
Соблазнительный расчёт 6 × 1/6 = 1 отвечает на другой вопрос: ожидаемое число шестёрок за шесть бросков равно единице. В серии может быть ноль, одна или несколько шестёрок. Среднее число один не означает, что в каждой серии будет ровно одна.
Начнём с двух бросков: откуда берётся лишний исход
Различайте первый и второй броски. Есть 6 × 6 = 36 равновероятных упорядоченных пар. В шести парах шестёрка выпадает в первом броске; ещё в шести — во втором.
Пара (6, 6) входит в обе группы. Сумма 6 + 6 учитывает её дважды, хотя это всего одна успешная пара. Считаем её один раз: 6 + 6 − 1 = 11. Вероятность хотя бы одной шестёрки за два броска равна 11/36, примерно 30,6%, а не 1/3.
Можно посчитать короче: ни одной шестёрки нет в 5 × 5 = 25 парах. В остальных 36 − 25 = 11 хотя бы одна есть. Такой подход удобно перенести на длинную серию.
Для шести бросков посчитайте вероятность ни одной шестёрки
В одном броске вероятность не получить шестёрку равна 5/6. Независимость позволяет перемножить эти вероятности. За все шесть бросков ни одной шестёрки не будет с вероятностью (5/6)⁶ = 15625/46656, примерно 33,49%.
«Ни одной шестёрки» и «хотя бы одна шестёрка» — два противоположных события. Их вероятности в сумме дают единицу. Поэтому вероятность хотя бы одной шестёрки равна 1 − (5/6)⁶ = 31031/46656, примерно 66,51%.
Значит, остаётся примерно один шанс из трёх не получить ни одной шестёрки. Это расчёт по модели, а не обещание результата конкретной серии.
Одна формула для заранее выбранного числа независимых попыток
P(хотя бы один успех) = 1 − (1 − p)^n
p — вероятность успеха в каждой попытке
n — число попыток, выбранное заранееНужно 0 ≤ p ≤ 1 и целое неотрицательное n. При n = 0 вероятность равна 0: без попыток нет успеха. При n ≥ 1 используйте формулу напрямую.
Больше попыток повышает шанс, но не гарантирует успех
Для честного кубика и независимых бросков вероятность хотя бы одной шестёрки составляет:
- 1 бросок: примерно 16,67%.
- 2 броска: примерно 30,56%.
- 6 бросков: примерно 66,51%.
- 10 бросков: примерно 83,85%.
- 17 бросков: примерно 95,49%.
95% — не гарантия
Семнадцать бросков — наименьшее заранее выбранное число, которое даёт хотя бы 95% в этой модели; шестнадцать дают примерно 94,59%. Даже за семнадцать бросков шестёрка может не выпасть. При 0 < p < 1 любое конечное число независимых попыток оставляет положительную вероятность ни одного успеха.
Если уже прошли пять бросков без шестёрки, шанс в следующем по-прежнему равен 1/6. Результат 66,51% описывал всю серию из шести бросков до её начала; это не оставшаяся вероятность после пяти известных неудач.
Проверьте расчёт в электронной таблице
=1-(1-1/6)^6В формуле только арифметика; результат — примерно 0,665102. Примените процентный формат ячейки и получите около 66,51%. Последнюю шестёрку можно заменить другим заранее выбранным числом бросков.
Небольшой опыт: считайте серии, а не шестёрки
До начала решите записать 20 серий по шесть бросков честного кубика, встряхивая кубик перед каждым броском. В каждой серии выполните все шесть бросков. Запишите 1, если появилась хотя бы одна шестёрка, и 0, если не появилась ни одна.
Сложите единицы и разделите на 20. Это оценка доли серий хотя бы с одной шестёркой. Серия с тремя шестёрками всё равно даёт одну единицу. В таком маленьком опыте наблюдаемая доля может заметно отличаться от 66,51%.
Отдельно сложите все выпавшие шестёрки и разделите на 20, чтобы найти среднее число на серию; сравните это среднее с ожидаемым количеством один. Не смешивайте два измерения. Мы проверили математический подсчёт, но не проводили этот физический опыт.
Прежде чем переносить формулу, проверьте условия
Короткая формула предполагает независимые попытки с одной и той же вероятностью успеха. Если независимые попытки имеют разные известные вероятности p₁, p₂, …, используйте 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)… .
При вытягивании карт без возвращения состав колоды меняется; погода в соседние дни может быть связана. Несколько шансов сами по себе не дают права применять формулу независимых попыток с постоянной p. Сначала определите успех, число попыток и соответствие модели.
Проверьте рассуждение на монете
Выберите ответ и прочитайте пояснение. В разделе «Ответы» все объяснения доступны и без JavaScript.
Ответы и пояснения
- 50%: 50% — вероятность в одном броске. Три броска дают больше возможностей; сначала посчитайте вероятность ни одного орла.
- 87,5%: Верно. Только РРР не содержит орла: (1/2)³ = 1/8. Остальные семь из восьми равновероятных последовательностей содержат орла.
- 150%: 3 × 50% = 1,5 — ожидаемое число орлов, а не вероятность. Вероятность не бывает больше 100%.