Два кубика: почему сумма 7 наиболее вероятна

Короткий ответ: посчитайте способы получить сумму

Обозначим кубики A и B. На каждом — числа от 1 до 6. Предположим, что у всех граней одинаковый шанс выпасть, а результат одного кубика не влияет на другой. Отдельные броски тоже считаем независимыми.

Сумму 7 дают пары (A, B) = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) и (6, 1). Сумму 2 даёт только пара (1, 1).

Поэтому P(сумма 7) = 6/36 = 1/6, примерно 16,7%. P(сумма 2) = 1/36, примерно 2,8%. В каждом отдельном броске семёрка в шесть раз вероятнее двойки. При этом получить не семёрку всё же вероятнее: остальные суммы вместе занимают 30 из 36 исходов.

Как читать таблицу: строка для A, столбец для B

Для каждого из шести результатов кубика A возможны шесть результатов кубика B: 6 × 6 = 36 упорядоченных пар. Вероятность каждой пары — 1/6 × 1/6 = 1/36. В клетке записана сумма чисел из заголовков её строки и столбца.

Шесть обведённых клеток дают 7. Если посчитать клетки для каждой суммы, получится распределение ниже. Здесь указано число возможных пар, а не обязательный результат следующих 36 бросков.

• 2: 1 пара из 36; 3: 2 из 36; 4: 3 из 36.
• 5: 4 из 36; 6: 5 из 36; 7: 6 из 36.
• 8: 5 из 36; 9: 4 из 36; 10: 3 из 36.
• 11: 2 из 36; 12: 1 из 36.

Почему (3, 4) и (4, 3) считаются отдельно

Сумма одинакова, но результаты кубиков различаются: в первом случае на A выпало 3, а во втором — 4. Разницу проще увидеть на кубиках разных цветов или сохраняя за ними обозначения A и B.

Можно объединить эти два исхода в группу «тройка и четвёрка в любом порядке». Тогда её вероятность равна 2/36. У дубля, например (3, 3), только один упорядоченный исход и вероятность 1/36.

Если выписать все пары без учёта порядка, получится 21 группа. Их вероятности различаются. Ошибка — делить на 21 так, будто шансы у всех одинаковы. Одиннадцать возможных сумм, от 2 до 12, тоже не равновероятны.

Проведите опыт: запишите 36 бросков

Приготовьте два обычных шестигранных кубика, лоток, карандаш и лист ниже или чистую бумагу. До начала предскажите, какая сумма встретится чаще всего. Теоретический прогноз — 7, но в коротком опыте может победить другая сумма или получиться ничья.

• Заранее договоритесь: если любой кубик вылетел из лотка или встал на ребро, перебросьте оба. Во всех остальных случаях записывайте результат, даже если он вас удивил.
• Бросьте оба кубика 36 раз. После каждого броска запишите сумму в следующее пронумерованное поле. Сохраните порядок записей, чтобы потом проверить подсчёт.
• Подсчитайте, сколько раз встретилась каждая сумма от 2 до 12. Все количества вместе должны дать 36. Если это не так, пересчитайте записанные результаты.
• Разделите каждое количество на 36 и сравните с теоретической вероятностью. Например, если записаны четыре семёрки, наблюдаемая доля равна 4/36, примерно 11,1%, а вероятность по модели остаётся 6/36. Это пример расчёта, а не результат проведённого опыта.

Что показывает короткий опыт

Ожидаемое число семёрок за 36 бросков — 36 × 1/6 = 6. «Ожидаемое» здесь означает среднее по большому числу повторений опыта, а не ровно шесть семёрок в каждой серии из 36.

Какая-то сумма может ни разу не выпасть, результаты могут повториться подряд, а первое место — занять другая сумма. Сами по себе такие наблюдения не доказывают, что кубики нечестные. Эта небольшая работа помогает сравнить модель с данными, но не проверяет качество кубиков.

При желании проведите ещё одну серию. Сохраните все результаты и сравните общие доли с прогнозом. Большее число независимых бросков даёт больше информации для сравнения, но после каждого нового броска доли не обязаны становиться ближе к модели.

Семёрка не становится «обязательной» после паузы

Если кубики и броски независимы, десять бросков без семёрки не меняют шанс получить её в следующем. Он по-прежнему равен 1/6. Прошлые результаты не убирают клетки из таблицы и не заставляют кубики что-либо компенсировать.

Полезная привычка — различать три вещи: равновероятные исходы, группы, в которые вы их объединяете, и результаты, которые вы действительно наблюдали.

Источники и материалы

• University of Hawaii — Rolling Two Dice
• Australian National University — Dice probability
• The Open University — Calculating theoretical probability
• The Open University — Gambler’s fallacy