Вероятность без возвращения: почему второй выбор зависит от первого
Если в мешке три синих и два оранжевых жетона, вероятность достать два синих без возвращения первого равна 3/5 × 2/4 = 30%. Вторая дробь описывает состав мешка после того, как первым достали синий жетон.
Начнём с пяти разных жетонов
Обозначим три синих жетона буквами A, B и C, а два оранжевых — D и E. Достанем один, оставим снаружи и достанем второй. Будем считать, что каждый оставшийся в мешке жетон имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Буквы помогают различать отдельные исходы, хотя вопрос касается цветов.
«Без возвращения» означает, что первый жетон не кладут обратно до конца обоих выборов. Выборы зависимы: зная цвет первого жетона, мы меняем оценку вероятности цвета второго.
Два синих: меняются и числитель, и знаменатель
При первом выборе в мешке три синих жетона из пяти, поэтому вероятность синего равна 3/5. Если первым оказался синий, остаются два синих жетона из четырёх. Вероятность синего при втором выборе теперь равна 2/4.
Перемножим вероятности вдоль этого пути: P(два синих) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10 = 30%. Дробь 2/4 — условная вероятность: она относится к ситуации, когда первым достали синий жетон.
Если вернуть первый жетон и перемешать содержимое, снова доступны все пять. При той же модели равновероятного выбора вероятность двух синих тогда равна 3/5 × 3/5 = 9/25 = 36%. Этот расчёт относится к другому опыту.
Проверим расчёт по 20 парам
Для первого жетона есть пять вариантов, для второго — четыре оставшихся: 5 × 4 = 20 упорядоченных пар. Вероятность каждой равна 1/5 × 1/4 = 1/20. A→B и B→A — разные последовательности; учитываем обе.
Клетки диагонали A→A, B→B, C→C, D→D и E→E без возвращения невозможны. Среди остальных клеток шесть содержат два синих жетона: A→B, A→C, B→A, B→C, C→A и C→B. Шесть из двадцати — те же 30%.
По одному каждого цвета: учитываем оба порядка
Вероятность пути «синий, затем оранжевый» равна 3/5 × 2/4 = 6/20. Для пути «оранжевый, затем синий» получаем 2/5 × 3/4 = 6/20. При одной паре выборов эти пути не могут произойти одновременно, поэтому складываем: P(по одному каждого цвета) = 12/20 = 60%.
Вероятность двух оранжевых равна 2/5 × 1/4 = 2/20 = 10%. Три категории охватывают все пары: 30% + 60% + 10% = 100%.
Четыре последовательности цветов не равновероятны. На «синий–синий», «синий–оранжевый» и «оранжевый–синий» приходится по шесть пар с буквами, а на «оранжевый–оранжевый» — только две. Если просто назначить каждой из четырёх последовательностей по 25%, это различие пропадёт.
Четыре пути с обновлением мешка после первого выбора
text
синий → синий: (3/5) × (2/4) = 6/20
синий → оранжевый: (3/5) × (2/4) = 6/20
оранжевый → синий: (2/5) × (3/4) = 6/20
оранжевый → оранжевый: (2/5) × (1/4) = 2/20Вдоль одного пути умножаем. Вероятности несовместных путей складываем, если они отвечают на один вопрос.
Почему до первого выбора вероятность синего на втором месте всё ещё 60%
До обоих выборов общая вероятность того, что второй жетон окажется синим, по-прежнему равна 3/5. В таблице каждый из трёх синих столбцов содержит четыре допустимые клетки: 12/20 = 60%. Это не делает выборы независимыми.
Если уже известно, что первым был синий, вероятность синего во втором выборе равна 2/4 = 50%. Если первым был оранжевый — 3/4 = 75%. До того как мы увидели любой результат, учитываем обе возможные предыстории: (3/5 × 2/4) + (2/5 × 3/4) = 12/20.
Уточняйте, что известно из условия. «Второй жетон синий» и «второй жетон синий при условии, что первый был синим» опираются на разную информацию. Совпадение общей доли ещё не доказывает независимость.
Попробуйте опыт с бумажными жетонами
Возьмите пять одинаковых по размеру листочков, напишите A, B, C, D и E на внутренней стороне и сложите одинаково. A/B/C считайте синими, D/E — оранжевыми; цветная бумага не обязательна. Перемешивайте в непрозрачной ёмкости и выбирайте не глядя. Это приближение к модели равновероятного выбора, а не проверка равновероятности реальных вытягиваний.
- Подготовьте на бумаге 20 пронумерованных строк. Достаньте два листочка без возвращения, запишите буквы в порядке выбора и отметьте категорию: два синих, разные цвета или два оранжевых.
- Перед следующей строкой верните оба листочка и перемешайте. Иначе следующие пары будут выбираться уже из другого состава.
- Проверьте, что сумма трёх счётчиков равна 20. Разделите каждый счётчик на 20, чтобы получить наблюдаемую долю, и сравните с 30%, 60% и 10%.
- В 20 попытках не обязательно будет ровно шесть пар с двумя синими, двенадцать смешанных и две с двумя оранжевыми. Это ожидаемые количества, а не гарантированное расписание. Расчёты и подсчёт исходов здесь проверены; физический опыт Coru не проводил.
Правило для других задач
Пусть всего N жетонов, из них B синих. При двух равновероятных выборах без возвращения P(два синих) = (B/N) × ((B − 1)/(N − 1)), если N ≥ 2 и 1 ≤ B ≤ N. При B = 0 вероятность равна нулю. Количества — целые числа.
Общее правило: P(A и B) = P(A) × P(B при условии A), если P(A) положительна. Независимость — частный случай, когда знание A не меняет вероятность B. В задачах без возвращения обновляйте состав для каждого пути, а не повторяйте первую дробь.
Проверьте, что вам известно
Выберите вариант и прочитайте объяснение. Все варианты с объяснениями также доступны ниже в разделе «Ответы».
Ответы и пояснения
- 3/5 = 60%: Такова доля синих в исходном мешке. Один оранжевый уже убрали, поэтому осталось всего четыре жетона.
- 3/4 = 75%: Все три синих остались в мешке, а всего в нём четыре жетона.
- 2/4 = 50%: Два синих осталось бы после первого синего. По условию первым был оранжевый, поэтому синих осталось три.